Circuit RLC série en régime sinusoïdal

          Circuit RLC série en régime sinusoïdal

Ø Introduction :

Un circuit RLC en électrocinétique est un circuit linéaire contenant une résistance électrique, une bobine (inductance) et un condensateur (capacité).

A l'aide d'un générateur de signaux, on peut injecter dans le circuit des oscillations et observer dans certains cas une résonance, caractérisée par une augmentation du courant (lorsque le signal d'entrée choisi correspond à la pulsation propre du circuit, calculable à partir de l'équation différentielle qui le régit).

·        Circuit RLC en série :

 Le circuit RLC est soumis  dans notre étude au type d’entrée suivant :

       Circuit soumis à une tension sinusoïdale : v(t) = V sin t

Ø Objectif de la manipulation :

L’étude du circuit RLC série portera sur les lois de variation avec la fréquence.

-         De l’amplitude et de la phase du courant traversant le circuit.

-         De l’impédance présenté par le circuit

-         De l’amplitude des tensions aux bornes de chacun des éléments constituant le circuit (résistance R, bobine L et condensateur C)    

I –Etude théorique :

1.     L’expression de l’impédance complexe du circuit réalisé :

o   Elle dépend de f, R, X_L et X_c ;  ‘La construction de Fresnel et le théorème de Pythagore’ permettent d'exprimer cette impédance 

                                                 

2.     l’expression du déphasage de l’intensité par rapport a la tension :

o   Sur la construction de Fresnel, l'angle de déphasage entre I et U est donné par:

tanφ = (X_L - X_c) / R                 , et donc                φ =Arctan (X_L - X_c) / R

3.     diagramme de Fresnel :

_ü   Avec :U=U_R+U_L+_UC

UR=RI     ;    UL=jLI     ;    UC=1/jCI

le diagramme de Fresnel est représente sur la feuille millimètré n°1

4.Fréquence de résonance :

o   A la résonance, l'impédance du circuit est minimale (R). Elle est donc obtenue pour :

 X_L = X_c  →   L₀ = 1/C₀    →    2 π f₀L = 1/2 π f₀C    →      4π²f₀²LC = 1                    

Et donc :  

v Remarque ; f_o est la fréquence de résonance,

§  pour f > f_o : le dipôle est globalement inductif,

§  pour f = f_o : le dipôle est globalement résistif

§  pour f < f_o : le dipôle est globalement capacitif.

o   L'impédance du circuit RLC varie avec la fréquence ; quand  f=f₀(fréquence de résonance du circuit) :

Z=Z_min=R+r car, à f₀  L1/C et on sait que : I =V/Z, on a : V=E, Z=R+r

Donc :    I=E/ R+r

v Remarque : On a un circuit RLC série.
Le condensateur se décharge dans un dipôle RL  où  R^’= r + R

*à la resonance :Z=R^’ = r + R

            5. L’expression des tensions :

                V_R0=RI₀       ;        V_C0=1/CV_L0=LI₀

II- Étude expérimentale :

§  On réalise le montage  du circuit suivant :

      

1. en maintenant la tension d’entrée «  E_cc=1 »et constante tout au long de la manipulation :

o   On a :

    Avec  R = 100 Ω; L = 19.5 µH ; C = 47 µF

    Alors    f0 =5,25 KHZ

2. Les variations de I et de la phase θ en fonction de la fréquence :

o   Avec :    I= VR / R         et      E =1 Vcc et :

  

*  preuve : A l’oscilloscope on mesure l’intervalle de temps Δt allant de u vers i et la période T (identique pour u et i).

Sachant qu’une période complète correspond à 2π radians, on effectue une règle de trois pour trouver le déphasage φ.

On obtient : en fonction de T :

en radians (rad)

f(KHZ)	0,1	0,2	0,5	2	3,70	4,63	5,31	5,69	10,89	20
I (A)	0,014	0,013	0,033	0,0452	0,067	0,106	0,235	0,225	0.005	1,06.10-4
θ (rd)	0	0	0	0	0	0	0.27	1,29	108,34	197 ,19

Ø Le  tracé des courbes I=f(f) et θ=f(f) :

                         (VOIR FEUILLE MILLIMETRIE n°2)

3. Etude de l’impédance :

o   Z = E / I    ;     R = Z. cos θ    ;     x = -Z. sin θ

Z(Ω)	71,4	76,92	30,30	22,12	14,92	9,43	4,25	4,44	200	9433.9
R(Ω)	71,4	76,92	30,30	22,12	14,92	9,34	4,24	4,43	62,93	9012,4
X(Ω)	0	0	0	0	0	0	0,020	0,01	189,84	2788,1

Ø Le  tracé des courbes Z=f(f), R=f(f) et x=f(f) :

                         (VOIR FEUILLE MILLIMETRIE n°3)

4. Etude des tensions aux bornes des éléments :

o   On permute entre le condensateur et la résistance et ensuite entre le condensateur et la bobine finalement on obtient le tableau suivant :

f(KHZ)	2	5	10	20	30	50	70	100
Vc (v)	1	2,8	0,64	0,105	0,048	0,016	0	0
VR (v)	0,098	0,51	0,18	0,064	0,04	0,018	0,007	0,003
VL (v)	0,31	2,5	1,8	1,4	0,8	0,8	0,96	0

Ø Le  tracé des courbes Vc=f(f), VR=f(f) et VL=f(f) :

                         (VOIR FEUILLE MILLIMETRIE n°4)

5. on fait varier la fréquence jusqu’à ce que la tension V_R soit en phase avec la tension d’entrée ;

On obtient ainsi le tableau ci-dessous :

f0=5,75 khz	E	VR0	VC0	VL0
Module(crête à crête)	1v	0,8v	4,7v	4,7v
Déphasage sur e(t)	0°	0°	0°	0°

6. On remarque bien que :V_C0=V_L0 ; car théoriquement on a : V_C0=1/C_V_L0=LI₀,et on a le même courant I₀ qui les traversent(branchement en série),aussi a la résonance : 1/C=Lainsi il est est claire que : V_C0=V_L0 

7. Comentaire sur les résultats trouvés :

La fréquence de résonance calculée en théorique par les valeurs qui nous ont été données est presque identique à celle trouvée en étude pratique (l’incertitude existante entre les deux valeurs dû au manque de précision de mesure) ; aussi on remarque : qu’à la valeur  f=5khz(presque égale f₀ ) on trouve que V_R est maximale (0,51v),car on sait que pour f = f_o :le dipôle est globalement résistif.

 *seule la partie imaginaire de Z peut être négative, la partie réelle est toujours positive.